Educational Technology & Society 5(4) 2002
ISSN 1436-4522
pp. 214-221

Автоматизированная генерация заданий по математике для контроля знаний учащихся

Левинская Мария Александровна
Московский авиационный институт (технический университет)
аспирантка, преподаватель,
тел (095) 476-32-51
malev@ok.ru

АННОТАЦИЯ
Данная статья посвящена интерактивной интеллектуальной системе. В статье анализируются требования к задачам в такой системе и предлагается новый метод создания заданий, удовлетворяющих этим требованиям. Метод генерации задач для контроля знаний обучаемых позволяет создать тысячи задач исключая рутинную работу по их верстке. Также в статье иллюстрируется применение этого метода в конкретной обучающей системе.

Работа выполнена в рамках гранта малого предприятия

Ключевые слова
компьютерная обучающая система, интерактивная интелектуальная система, генерация заданий, клонирование, формулы.

 

Введение

В настоящее время неотъемлемой частью развитого электронного учебника по математике является подсистема аналитических формульных преобразований. Причем данная подсистема обязана быть интеллектуальной и интерактивной одновременно. До появления полноценных систем искусственного интеллекта процесс обучения считался прерогативой человека. Однако интерактивная интеллектуальная система с возможностью диалога на метаязыке своей предметной области может компьютеризировать этот процесс. Учитывая, что традиционные системы автоматизированного обучения в большинстве случаев реализуют обычную схему "вывод текста - контрольный вопрос - сличение ответа с образцом", многие учебные заведения негативно относятся к компьютерным системам обучения. Уровень этих систем несравним с уровнем проблемного эксперта: предметные знания представлены в них пассивно и значительно упрощены [Журавлева Т.Э., 1993]. Следует отметить, что в интеллектуальных системах обучения участие человека исключается на этапе самого обучения, однако создание баз знаний остается функцией эксперта или преподавателя.
Авторами разработан интерактивный и интеллектуальный учебник по алгебре на CD ROM [Станченко С.В., Зайцев В.Е. и др., 2000]. Однако не смотря на тот факт, что учебник содержит более 1000 задач, возникла протребность увеличить это количество в десятки раз. Так как в противном случае возникает проблема "списывания". То есть достаточно одному ученику решить задачу на своем компьютере (учитывая, что система дает подсказки, советы и сообщает о правильности результата сразу после ответа на вопрос, для сильных учеников иногда это не составляет труда), как эта задача будет решена у всего класса. Таким образом, при массовом применении таких учебников в реальном учебном процессе возникает проблема составления заданий для контрольных работ. Необходимо предлагать ученикам разные варианты заданий приблизительно одинакового уровня сложности. Желательно чтобы вариантов было не меньше чем учеников в классе или даже параллели. А для этого потребуется сверстать сотни тысяч задач с разными вариантами. Решением данной проблемы является метод автоматической генерации заданий.

Метод генерации заданий

На данный момент некоторые преподаватели уже пытались привлечь компьютер к составлению самостоятельных работ, контрольных работ, домашних заданий. Наиболее формализуемые и параметризуемые задачи относятся к таким предметам как математика, физика, химия. В литературе приведены примеры генерации заданий по математике для квадратных уравнений, по геометрии на объемы и поверхности тел вращения, по химии на концентрация растворов, по физике на решение треугольников (векторы сил в механике). Однако в описанных примерах каждая работа создается отдельной программой, вид параметризованных формул "вшит" в программный код и недостаток данного подхода отмечается даже самими авторами [Финкельберг В.М., 1999; Шестаков А.П., 2000].
В данной статье излагается метод генерации произвольных задач с решениями, позволяющий избежать колоссальных трудозатрат по верстке и составлению задач, а также демонстрируется программа генерации заданий по математике, удовлетворяющих условиям различности и равноценности. Отличие предлагаемого метода от методов реализованных в уже существующих программах заключается в том, что пользователю предоставляется механизм создания параметризованных задач (матриц) и аппарат для их клонирования (создание нескольких вариантов). То есть клонируемые задачи не обязаны подходить под определенный тип, а число вариантов задается во внешнем файле-сценарии или определяется через условия, накладываемые на параметры.
Следует заметить, что в большинстве существующих программ предлагается генерировать только задания для последующего их распечатывания. Наличие отдельного напечатанного варианта при проведении контрольной или самостоятельной работы имеет ряд преимуществ перед отсутствием такового: например, решается проблема списывания — каждый учащийся вынужден обрабатывать свои данные. Есть и свои недостатки — учителю затем нужно проверить не 2 варианта, а 25-30.[Шестаков А.П., 2000]. При интерактивной обучающей системе данный недостаток пропадает.
То есть существует потребность в создании интерактивных систем, где задача диалога с учеником и проверка решения ложится на компьютер. Диалоговое взаимодействие обеспечивает следующие аспекты обучения: непрерывный контроль деятельности обучаемого, диагностирование, управление системой со стороны самого обучаемого [Савельев А.Я., 1980]. Это подразумевает под собой параметризацию не только условия задачи, но и ее решения, что также реализовано в предлагаемой статье. Наличие решения задачи предполагает формулы с внутренними сложными выражениями, зависящих от начальных параметров, а следовательно применение методов компьютерной алгебры для их максимального упрощения. Таким образом, распространенные программы генерации текста заданий с простой подстановкой чисел вместо параметров не подходят для предлагаемого метода создания задач.

Примеры генерации заданий

Предлагаемый в статье метод основан на клонировании шаблона документа. При этом шаблон документа представляет из себя параметризованное задание или матрицу задания, а клоны - это варианты, где конкретизированы некоторые переменные. Условия перебора параметров также задаются в документе матрице отдельной формулой, что позволяет создать различные типы заданий. То есть преподаватель не ограничен в выборе типа задач и при желании может параметризировать любой пример(правда, следует учесть, что существуют частные случаи заданий с одним единственным вариантом). Так, например, при контроле темы «Решение квадратных уравнений» можно предложить школьнику все существующие типы уравнений, такие как с четным вторым коэффициентом, с отрицательным дискриминантом, с целыми, дробными, иррациональными корнями и т. д.
Приведем примеры матрицы документа и полученных клонов:
Решить уравнение:
x2 -(a+b)x+ab=0
(1)
Ответ: x = ?a; x = ?b
(2)
Условия перебора
(3)
Пример полученного клона при значениях параметров:
a=2;
b=3
Решить уравнение:
x2 -5x+6 =0
Ответ: x = ?2; x = ?3
В данном примере по матрице можно создать 40 вариантов квадратных уравнений с различными корнями, решаемых по теореме Виете.
Процесс клонирования состоит в следующем:

  1. подбор подходящих вариантов, то есть подбор параметров, удовлетворяющих условию (3).
  2. далее подстановка найденных параметров в формулы задачи (1), (2),
  3. упрощение формул при помощи символьных преобразований [Алкивиядис Г., 1994], что приводит формулу x2-(2+3)x+2*3=0 к виду x2-5x+6=0.
Так выглядит простейший пример клонирования для стандартной задачи. Преимущество его заключается в возможности автоматического вывода решения.
Более сложный пример матрицы приведен на рис 1.

Рис 1. Пример шаблона документа

На рисунке видна параметризованная задача с решением, формула описания параметров, где помимо независимых параметров b, p, m, s, t, n, k введен зависимый параметр r и указаны некоторые ограничения и условия на параметры. Последняя формула в документе является одним из представителей клонов с наиболее красивыми параметрами для данной задачи, так называемый видимый клон . Если параметризировался конкретный пример из книги (для получения большего числа равнозначных по сложности вариантов), то данная формула описывает параметры для исходного примера. Таким образом, получаем помимо книжного примера равноценные варианты. В программе предусмотрена проверка на несовпадение вариантов друг с другом и с видимым клоном.
Результат клонирования матрицы показанной на рис 1 представлен на рис 2.

Рис2. Пример задчи-клона

Таким образом, метод генерации задач по одному исходному документу способен создать сотни различных и притом равноценных вариантов. Предлагаемый метод подходит для любых параметризованных формул, а соответственно и предметных областей связанных с формулами. На данный момент метод апробирован на математике (алгебре, геометрии, тригонометрии), физике, есть возможность реализации на химических формулах. Вследствие трудной параметризации и однозначности тесты с выборочным ответом в область применения метода генерации задач не входят.
В системе реализовано клонирование не только текста заданий, но и решения. Решение может генерироваться автоматически в простейших случаях или получаться подстановкой параметров в формулы из шаблонного документа в случае нестандартных задач. Полученные варианты представляют собой интерактивные задачи, то есть по ходу решения задачи идет диалог обучаемого и компьютера.

Разработка базы задач с использованием метода генерации заданий

В настоящий момент при помощи метода генерации авторами создана база задач по математике. В базе содержатся тысячи клонированных задач с пошаговым решением. Как отмечалось выше, предлагаемая система является интерактивной. Запросы к ученику определяются либо вручную учителем на матрице, либо автоматически по заложенным в системе правилам. То есть некоторые формулы могут иметь скрытую часть (так называемую «пряталку», на рис 1, 2 отмечены цветными рамками), которую должен заполнить ученик, чтобы сформировать ответ. В частности, в приведенном примере с квадратным уравнением обозначение ?a означает, что при решении уравнения ученику будет показан шаблон ответа - '?', поскольку запрашиваемые корни уравнения должен найти сам учащийся.
Пример клонированной задачи с 30 вариантами и частично спрятанными формулами рис 3.


Рис 3. Клонированная задача с 30 вариантами

В реализованной системе существует два различных режима: DesignTime и RunTime. То есть режим для редактирования задачи (DesignTime) (рис 1, 2), доступный разработчикам и экспертам и режим решения задачи(RunTime) (рис 3, 5, 6) - режим для ученика.
В режиме RunTime необходимо реализовать интеллектуальную проверку формул. Ученику позволяется вводить формулы в произвольном виде при этом a+b и b+a для системы абсолютно одинаковые выражения. Проверка формул не просто должна сообщить ученику "Верно" или "Неверно" (подобно тестам), а дать по возможности совет, подсказку, определить уровень неправильности введенной формулы.
В процессе разработки обучающих компьютерных программ могут использоваться два подхода проектирования и создания диалогового взаимодействия между компьютером и обучаемым. В первом случае используется "жестко" спроектированный диалог. Все сообщения, реплики заносятся в программу сразу при ее разработке и в дальнейшем без помощи программиста - разработчика их уже изменить нельзя. Такой подход немного упрощает разработку программы. Но программа не обладает гибкостью, ограничена в адаптации и поэтому данный подход нецелесообразен. Другой подход заключается в проектировании общей структуры диалоговых окон - определение размеров, цвета, реплик обучающей программы, кнопок ответа обучаемого и т.д. Затем создается файл, содержащий сами реплики, сообщения, вопросы и т.д., которые программа будет использовать по мере необходимости. Заполнение и исправление информации может выполняться стандартными компьютерными программами или, для облегчения работы преподавателя или методиста, специально разработанными для этих целей программами. Таким образом, обучающая программа становится динамичной, легко адаптируемой и масштабируемой. Появляется возможность разнообразить диапазон вопросов и ответов, внести эмоциональную окраску в диалог "компьютер-человек".
В представляемой системе выбран второй подход. С помощью унификации шаблонных ошибок и введенного пользователем выражения разработано около 200 типовых ошибок для 10 видов выражений, таких как число, выражение, пара чисел и т.д. Сообщения обучаемому, каталог ошибок и уровень неправильности (плюс, плюс с точкой, плюс-минус, минус-плюс, минус, 0) вынесены во внешнюю базу, что позволяет методисту самому настроить критерии оценки. То есть если ученик при вводе ответа ошибся в знаке можно оценить его ответ как минус-плюс, а можно как плюс-минус (в зависимости от степени подготовленности класса) рис 4.

Рис 4. Критерии выставления оценки

Вопрос определения типа проверки относится к вопросу классификации формул по типам и с ним связана реализация автоматических «пряталок». Так покажем пример сообщения для спрятанного числа (рис 5).

Рис 5. Пример проверки клонированной задачи

Еще один пример клонированной задачи и процесс ее решения (рис 6). В данном примере спрятано числовое множество и ученику выдаются сообщения, соответствующие этой группе.

Рис 6 Пример интеллектуальной проверки числового множества

Помимо реализации проверки клонированных формул, в представленной системе возникает проблема упрощения формул. При подстановке параметров возникают неупрощенные выражения с параметрами, для которых используются методы компьютерной алгебры. В рассмотренном выше примере это выражение 2+3, в других формулах это может быть сложное выражение с сокращаемой дробью, частично извлекаемым корнем и т.п. Так как решение ученику предоставляется пошаговое, то зачастую после подстановки параметров не следует упрощать всю формулу. Так, например, в примерах на упрощение, принципиален порядок упрощения частей формул. Для указания какую именно часть формулы следует упростить в тот или иной момент, методистам дана возможность ставить в формуле область упрощения (на рис 1 такие области отмечены белым цветом).
Также при подстановке параметров и упрощении формул могут возникать комбинации типа 1*x, x+0 и т.п. В зависимости от задачи и уровня ученика такие комбинации в формуле следует также упрощать. Для этого в программе используется процесс унификации и язык подобный РЕФАЛу, реализованный на рекурсивных структурах (деревьях) [Левинская М.А., 2001b]. Базу правил упрощения также как и каталог ошибок следует вынести наружу и предоставить возможность методисту вносить в нее изменения.
Таким образом, основными объектами в системе являются формулы, основными операциями - клонирование (подстановка параметров и упрощение, классификация формулы для организации диалога в RunTime) и проверка (реализация интерактивности). Причем формулы здесь понимаются в широком смысле слова, то есть это могут быть не только алгебраические формулы, но и формулы логики предикатов, физические формулы и т.п.[ Левинская М.А., 2001a] Немаловажен тот факт, что предлагаемый продукт помимо готовых вариантов предоставляет преподавателю инструментарий создания зачетов. То есть уровень преподавания в конечном итоге зависит от квалификации учителя.
Под квалификацией учителя здесь подразумевается
  1. способность параметризировать интересующую его задачу, грамотно ограничить параметры для получения с одной стороны красивых задач, а с другой стороны достаточное число вариантов,
  2. способность правильно акцентировать внимание обучаемого в выкладках решения на произведенные преобразования (достигается прятаньем именно преобразованной части формулы),
  3. необходимо владение информацией об уровне знаний класса для корректировки стандартного каталога ошибок.

Заключение

В настоящее время полученные результаты и разработанное программное обеспечение использованы в электронном учебнике – справочнике на CD ROM [Станченко С.В., Зайцев В.Е, Левинская М.А. и др., 2001]. Разработана База Задач, где метод генерации задач использовался в полном объеме.
Для реализации логической внутренней части выбран язык С++(Builder), как наиболее подходящий для реализации формул, представляющих из себя рекурсивную ссылочную структуру - дерево. Формульный интерфейс написан на Delphi, для стыковки с интерфейсом всей системы, разработанным коллективом авторов. Клонированные формулы по сложившейся традиции программ генерации заданий хранятся как TeX-строки, для возможного экспорта в другие системы. Алгоритм процесса клонирования представляет собой внешний файл на Java-script с возможностью настройки некоторых параметров, таких как число вариантов.
Готовые варианты уже можно решать в режиме on-line. Следующий этап – внедрение системы клонирования заданий в Интернет-системы дистанционного обучения и контроля знаний школьников и абитуриентов по нескольким предметам (математике, физике, химии).

Литература

[Станченко С.В., Зайцев В.Е. и др., 2000] Алгебра .Электронный учебник-справочник. // Станченко С. В., Зайцев В. Е. и др. –М.: Кудиц, Кордис&Медиа, 2000.(ISBN 5-89931-004-9).
[Алкивиядис Г., 1994] Алкивиядис Г. Акритас. Основы компьютерной алгебры. Пер. с англ. Панкратьева Е. В. - М.: Мир, 1994.
[Журавлева Т.Э., 1993] Журавлева Т. Э. Гибридный инструментарий интеллектуальных систем на основе расширенного логического программирования. Дисс канд. физ. - мат. наук. -М.: МАИ, 1993.
[Левинская М.А., 2001a] Интеллектуальная система с визуальным преобразованием, сопоставлением и вычислением формул, Тезисы доклада на IX Международной школе-семинаре. «Новые информационные технологии», Левинская М.А., МГИЭМ, 2001.
[Станченко С.В., Зайцев В.Е, Левинская М.А. и др., 2001] Математика абитуриенту. Учебное пособие // Станченко С.В., Зайцев В.Е, Левинская М. А. и др. –М.: Интерактивная Линия, Новый диск, 2001.(ISBN 5-89267-089-9).
[Левинская М.А., 2001b] Рефал на деревьях как машина логического вывода в интеллектуальной обучающей системе, Тезисы международной научно-практической интернет-конференции Информационные технологии в науке и образовании, Левинская М.А., Шахты 2001
[Савельев А.Я., 1980] Савельев А.Я. Автоматизированные обучающие системы, М: 1980
[Финкельберг В.М., 1999] Финкельберг В. М., Открытые системы, Компьютер в школе №7 1999: - Кодирование с открытым ключом против списывания
[Шестаков А.П., 2000] Шестаков А.П., Генерация дидактических материалов по математике, 2000