Наглядные учебные пособия для развития пространственного восприятия

Павел Алексеевич Ким

доцент , к.ф.-м.н., с.н.с. лаборатории Обработки изображений,

Институт Вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

Проспект академика Лаврентьева, 6, г. Новосибирск, 630090, (383)3307332

kim@ooi.sscc.ru

доцент кафедры Сервиса электронных и технических систем факультета Технологии и Предпринимательства,

Новосибирский государственный педагогический университет,

ул. Вилюйская, 27, г. Новосибирск, 630126 (383)2692960


Аннотация

Рассмотрены физические модели геометрических примитивов, обеспечивающие развитие пространственного восприятия в процессе обучения. К таковым относятся минимизирующие свои длины, площади и объемы «резиновые» линии, «резиновые» пленки, «резиновые» тела. Математически эти объекты описываются уравнениями Лапласа, для поверхностей нулевой кривизны, и уравнениями Пуассона, для поверхностей постоянной кривизны. Ранее физическое моделирование объектов такого рода не проводилось, что обеспечивает их патентоспособность. Конструктивным элементом генерации минимальных поверхностей является полидуга, представляющая собой обобщение известного в информатике понятия полилиния.  Работа частично поддержана грантом РФФИ 10-07-00131.

The physical models of geometrical primitives providing development of spatial perception in the course of education are considered. «Rubber» lines, «rubber» films, and «rubber» bodies are the staff minimizing lengths, areas and volumes. Mathematically these objects are described by Laplas's equations, for surfaces of zero curvature, and Poisson's equations, for surfaces of constant curvature. Earlier physical modeling of such kind of objects wasn't carried out. So that provides their patentability. A constructive element of describing of the minimum surfaces is the polyarch, representing generalization of concept known in Informatics as the polyline. Work is partially supported by a grant of the Russian Foundation for Basic Research 10-07-00131.

Ключевые слова

минимальная поверхность, уравнение Пуассона, масштабируемая модель рельефа;

minimal surface, equation of Poisson, scaled model of a relief.

Введение

Новые образовательные технологии, основанные на современных технических средствах коммуникации и обработки информации, такие как «Пробный курс робототехники» [1] или «Мобильное обучение как новая технология в образовании» [2] апеллируют в первую очередь к  личностным качествам субъекта обучения. О необходимости принятия адекватных мер по развитию интеллектуального уровня обучающегося говорится в [3]. Для развития пространственного восприятия учащихся, без которого невозможно изучение ряда математических дисциплин, например, такого раздела как стереометрия, весьма полезным и эффективным дидактическим инструментарием  являются наглядные учебные пособия, в числе которых можно выделить геометрические примитивы, т.е. геометрические абстракции-образы, разрабатываемые и отбираемые человеческим гением на протяжении многих тысячелетий. В этом списке представлены: и спираль Архимеда, и гиперболоид инженера Шухова, и эллиптический циркуль Леонардо да Винчи, и лист Мёбиуса, и бутылка Клейна,… С повышением требований к уровню образования общества, необходимо интенсифицировать работы по совершенствованию наглядных пособий на основе современных материалов и технологий, одновременно с расширением номенклатуры, подкрепляя их и новыми дидактическими возможностями (масштабируемость, параметризуемость, трансформируемость).  Представляется важным обеспечение наряду со зрительным восприятием геометрического объекта, также и его тактильное восприятие.

Со времен Пифагора образ учителя математики ассоциировался с циркулем, линейкой и деревянным треугольником. В современной школе роль наглядных пособий  уже не так заметна. Чрезмерное упование на компьютерное моделирование по всем естественным дисциплинам,  приводит к парадоксальным результатам, когда анекдотическое предложение о стрельбе из пушки за угол, путем ее опрокидывания набок, вторгается реалиями в сознание детей, черпающих представление о свойствах нашего пространства из фантасмагорических миров компьютерных игр, где переходы с одного уровня на другой осуществляются посредством  «пространственной транспортации». Стоит отметить, что природные явления не менее красочны и удивительны, чем игровые миры, например, феерическое зрелище мыльных пузырей, существующих краткое, но волнительное время,  может быть достаточным основанием для желания закрепить эти формы в пространственном восприятии в соответствии с восторженным восклицанием: «Остановись мгновение ты прекрасно!»

Физическое моделирование геометрических примитивов

Физическое моделирование БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА СНАРЯДА [1], внешний вид которого представлен на рис.1, помогает вернуть учащегося к естественному ходу развития познания внешнего мира через восприятие реальных процессов с помощью своих личных рецепторов, предоставленных человеку природой. Многократное повторение экспериментов, со зрительным восприятием траектории полета, позволяет эвристически воздействовать на динамику процесса, устанавливая взаимозависимость измеряемых параметров модели и формируя личное представление о геометрических абстракциях, используемых в описании процесса в целом, на базе теоретической схемы, представленной на рис.2.

Рис.1. Внешний вид устройства БМ3.

Дополнительное подключение к устройству моделирования  компьютера, с соответствующим программным обеспечением, позволяющим зафиксировать на экране динамику зависимости геометрической  формы параболической траектории от параметров конкретного эксперимента, воспринималось бы как «замедленная киносъемка» эксперимента. Использование полезных моделей, основанных на реалиях окружающего мира, включающих и физико-химические, и биологические, и социальные феномены, должно стать необходимым педагогическим средством развития и воспитания учащегося. Возможность чувственного восприятия, а именно, реальных природных процессов и явлений, регулируя на «безопасном» уровне их «амплитуду», в отличие от обучения на идеальных теоретических моделях, обеспечивает более эффективный дидактический переход от «теории к практике».


Рис.2. Схема движения тела в поле силы тяжести.

Полидуга

Полидуга [5] представляет собой набор состыкованных последовательно дуг (частей окружностей) различного радиуса. Если считать прямую линию окружностью бесконечного радиуса, а угловое соединение окружностью нулевого радиуса, то полидуга может рассматриваться как обобщение понятия полилинии, состоящей из набора состыкованных последовательно отрезков конечной длины.

Будем называть полидугу гладкой, если в точках стыка обе дуги имеют общую касательную. Важнейшими свойствами нашего мира являются законы сохранения материи, энергии, а также принцип минимальности энергии, поверхности, объема. Не фиксируясь на природе этих законов мы можем наблюдать их взаимодействие в сложной форме полидуги.

Устройство (рис.3) состоит из корпуса 1 в форме параллелепипеда, с прозрачной верхней крышкой 2 разделенного на несколько секций 3n+1  подвижными перегородками 4n, движущимися в вертикальных пазах 5n, выполненных в боковых стенках корпуса. В торцевой стенке 6 и в подвижных перегородках 4n,  также вертикально выполнены пазы меньшего размера 7n+1 для гибкой нерастяжимой ленты 8, вертикально закрепленной на второй торцевой стенке 9 и принимающей целевую форму полидуги.


Рис.3. Схема устройства моделирования полидуги.

Устройство работает следующим образом. В емкости каждой секции 3n+1 (рис.4), разделенной лентой дополна заливается вязкая несжимаемая жидкость, например, глицерин. Затем лента 8 с усилием вытягивается из корпуса 1 до останова. Результирующее положение ленты 8, наблюдаемое через прозрачную крышку 2 образует полидугу. Изменяя пропорции объемов жидкости в дальних и ближних частях секций 3n+1 можно получать различные варианты полидуг. Новизна предлагаемого изобретения обусловлена оригинальностью использования полидуг для формирования сечений масштабируемых моделей рельефа, в научно-исследовательских работах Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Заявленное устройство моделирования полидуги формирует плоский образ геометрического примитива. Но эта же задача может быть расширена для представления поверхности земного рельефа в трехмерном пространстве [6]. Возможность видеть и осязать эти геометрические формы очень полезна, представляя наглядный инструмент сопряжения трехмерного объекта и его плоской географической карты, выполненной горизонталями. На основе представленных геометрических примитивов можно поставить учебные задачи интерпретирующие взаимосвязи свойств экстремальности длин, площадей и объемов при выбранных ограничениях.

.

Рис.4. Внутренний узел устройства.

Известно, что минимальная поверхность отвечает уравнению Пуассона для напряженной мембраны-пленки, где - оператор Лапласа или лапласиан, k константа, а мембрана - очень тонкое твердое тело, натянутое равномерно по всем направлениям. Поверхности Пуассона представляют собой части сопряженных мыльных пузырей.  Их физическое моделирование и является трехмерным развитием устройства моделирования полидуги для создания и исследования фрагментов красочных мыльных пузырей.

Визуализация четырехмерного гиперрельефа [7] также может быть осуществлена в виде «горизонталей», т.е. геометрических объемов, соответствующих выбранной высоте. Отметим, что для масштабируемой модели гиперрельефа, структура горизонталей, напоминает матрешку, с вложенными друг в друга объемами. Таким образом, информационные технологии должны обеспечивать «прозрачное» трехмерное отображение «пошаговой» структуры трехмерной карты четырехмерного гиперрельефа.


Рис.5. Схема сглаживания ступеньки

Для четырехмерного рельефа можно создать его трехмерную карту. По аналогии с географическими картами построим систему горизонталей для гиперрельефа, то есть спроецируем на область задания гиперрельфа (в нашем случае пространственный объем) пересечение гиперрельефа с плоскостью f=const. Система горизонталей масштабируемой модели гиперрельефа образует «матрешечные» структуры объемов. Компьютерное сопровождение приведенной модели позволяет проводить трассировку маршрутов по гиперрельефу.  Можно проводить игры-соревнования между соперниками, в том числе и командные соревнования по быстрейшему достижению целевой точки с использованием трехмерных карт.


Рис.6. Условия минимизации поверхности гиперрельефа.

Методические аспекты применения наглядных пособий

Обратим внимание, что предложенные идеи не входят в противоречие с современными взглядами на физиологические и психологические основы  пространственного восприятия в образовании. Способность оперирования пространственными образами имеет различные дефиниции. Определим «пространственное воображение», как деятельность по преобразованию пространственных представлений в процессе решения геометрических теоретических и практических задач. Основанием для выбора определения служит тот факт, что многие ученые, исследуя воображение, опираются на экспериментально выявленные и теоретически обоснованные положения о том, что воображение является деятельностью по преобразованию представлений, где под представлениями понимаются образы объектов и явлений из прошлых восприятий, прошлого опыта субъекта. Деятельность воображения, обусловленная социальной практикой, возникающей в общении между индивидами и в коллективной деятельности, внутренне взаимосвязана со всеми психическими процессами, с мышлением и речью, исходя из понимания единства личности, сознания и деятельности. Культурно-историческая теория развития высших психических функций делает закономерный вывод о решающей роли обучения в развитии ребенка. В развивающем обучении педагогические воздействия играют роль опережающих направляющих факторов, стимулирующих развитие качеств личности. Воображение представляет собой активность индивида, единство объективного и субъективного, чувственного и рационального, образного и знакового, играет основную роль в эмпирическом и теоретическом познании действительности. В основе восприятия пространства лежит системный механизм, основой которого является условно-рефлекторная деятельность организма, парная работа полушарий головного мозга, характеризующаяся бинарным эффектом и явлением асимметрии при одновременном функционировании одноименных рецепторов.

Важную роль в отражении пространства играет овладение речью, понятиями. Зрительный образ создается в результате персептивных действий (поиск, обнаружение, выделение и др.), особенность визуального мышления заключается в порождении новых визуальных форм, которые делают значение видимым. Геометрия бинокулярного восприятия не является метрически евклидовой, визуальное пространство имеет искривление, подчинено контексту, вследствие чего могут возникать зрительные иллюзии, требующие корректировки рациональным осознанием.  Таким образом, наглядное представление о четырехмерном мире также является результатом переработки чувственного материала под влиянием абстрактного мышления, связывается с речью, диалектически соединяя противоположности чувственного и рационального познания. 

Отметим, что переход к четырехмерному пространству, и тем более к пространствам еще большей размерности, простой минимаксной интерпретации в трехмерном пространстве не имеет. Таким образом, ориентация на трехмерное пространство, апеллирует к чувственным возможностям человеческого восприятия, и следовательно, позволяет развивать его, предоставляя новые классификации, отличные от прямоугольных (кубических) геометрических форм, и традиционных сфер и поверхностей, описываемых алгебраическими квадратичными уравнениями.

Заключение

Главным результатом представления описанных здесь учебных средств развития пространственного воображения является потенциальная возможность формирования «видения четырехмерного пространства», через двумерные проекции трехмерных поверхностей четырехмерных тел, поскольку восприятие трехмерного пространства осуществляется в процессе анализа динамики плоского изображения, отображаемого на сетчатке глаза.

Литература

1. П. А. Ким Пробный курс робототехники // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)» . 2011. -  Том 14.- №1. -  C. 253-261. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html

2. И. Н. Голицына, Н. Л. Половникова  Мобильное обучение как новая технология в образовании // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)» . 2011. -  Том 14. - №1.  -  C. 241-252. - ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html

3. Г.И. Кирилова, О.Н. Волик Специфика формирования интеллектуального потенциала общества в условиях современной информационной среды (по материалам форума в рамках третьих Махмутовских чтений) // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)» . 2011. -  Том 14. - №1. -  C. 375-379.- ISSN 1436-4522. URL: http://ifets.ieee.org/russian/periodical/journal.html

4. Ким П.А. Патент на полезную модель N 101244 МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА СНАРЯДА. Бюл.N 1, 10.01.2011.

5. Ким П.А. Заявка на изобретение N 2010130916/12(043826) от 23.07.2010 "Устройство моделирования полидуги". Решение о выдаче патента от 01.03.2012

6. Ким П.А. Один подход к визуализации масштабируемой модели рельефа. //Тр. 16 Международной конференции по компьютерной графике и ее приложениям «ГрафиКон" 2006». 1-5 июля 2006 года, Россия. - Новосибирск, Академгородок, ИВМиМГ СО РАН, 2006. С..355-359

7. Ким П.А. Масштабируемая модель гиперрельефа в 4D-пространстве // Труды VIII Международного научного конгресса и выставки <ИНТЕРЭКСПО ГЕО-Сибирь-2012>, т.1 <Дистанционные методы зондирования земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология>, 10-20 апреля 2012г. - Новосибирск.  - С.171-175.