Математический анализ с системами «математика» и «вебматематика». Непрерывные функции.

Евгений Михайлович Воробьев

профессор, д-м.н., профессор кафедры прикладной математики,

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики,

 МИЭМ НИУ ВШЭ, Б. Трехсвятительский пер., 3/12, Москва, 109028,

 (495) 916 88 76,

emv@miem.edu.ru

 

Аннотация

Рассмотрена методика преподавания раздела Непрерывные функции дисциплины Математический     анализ с применением систем «Математика» и «ВебМатематика». Показано, что применение систем не только визуализирует понятия и методы, принятые в традиционном способе преподавания, но и позволяет существенно углубить понимание студентами этого предмета за счет лучшей мотивировки и экспликации математических понятий.

We consider teaching the Continuous functions topic of Calculus using Mathematica and Webmathematica. We show that it makes possible not only to visualize the traditional approach of teaching but helps the students to reach the deeper understanding of continuity. It is achieved by the best motivation and explication of mathematical concepts.

Ключевые слова

Непрерывность, непрерывная функция, график, система «Математика»;

continuity, continuous function, function graph, Mathematica.

 

Введение

Использование компьютерных алгебр, или по-английски CAS, в университетах США и Западной Европы  в образовательных целях началось практически одновременно с их появлением на свет в 70х-80х годах прошлого столетия. Автор в Университете штата Мэриленд в 1992 году обнаружил в компьютерной сети университета системы «Математика», «Мэйпл», Reduce и несколько узкоспециализированных программ символьных алгебраических расчетов. Однако в книжных магазинах США основное место в то время  занимали учебники по CAS, а не по их приложениям для изучения учебных дисциплин. Но уже в 1995 году положение существенно изменилось, и в продаже можно было найти немало учебников по математическому анализу и линейной алгебре. В настоящее время лидерство по использованию в образовании удерживают такие компьютерные алгебры как «Математика», «Мэйпл» и «Маткад», являющиеся интегрированными системами символьных, графических и численных математических расчетов. О степени внедрения этих систем в образование можно судить по тому факту, что среди выпущенных в 2007 году крупнейшим издательством научной и учебной литературы CRC Press (США) учебных пособий по математике 25% использовало в своем изложении компьютерные алгебры.

Наибольшую долю среди учебников, использующих CAS, занимают руководства по дисциплине Математический анализ (Calculus). Это обстоятельство можно объяснить как важностью дисциплины для приложений, так и, следовательно, ее включением в учебные планы практически всех инженерных, естественнонаучных и экономических специальностей. Можно отметить два направления, по которым влияние CAS на преподавание математического анализа наибольшее. Это визуализация математических объектов: последовательностей, функций, кривых и поверхностей, дискретных данных и т.п., а также автоматизация расчетов, позволяющих включать в учебные планы выполнение проектов, интересных сами по себе для студентов и имеющих прикладное значение для физики, механики, медицины, экономики, экологии и т.д.

Между тем, потенциально влияние CAS на дисциплину Математический анализ, по нашему мнению, может быть значительно более глубоким и затрагивать экспликацию основных понятий дисциплины: вещественного числа, непрерывной функции, производной,  интеграла. В настоящей работе мы обсудим важный, хотя и частный вопрос, связанный с применением компьютерных алгебр для  изучения непрерывности функций и их графиков. Мы ограничимся  рассмотрением системы «Математика» [1].

1. Непрерывность, непрерывные функции

Авторы  и рецензенты наиболее популярных и выдержавших многократные переиздания вузовских учебников по математическому анализу в качестве основного принципа, положенного в основу изложения материала, называют математическую строгость и логическую стройность. Так академик АН СССР А.Н. Колмогоров в своем отзыве об учебнике [2] пишет: «Полная строгость изложения … соединена с доступностью и полнотой, а также с воспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания». Мы видим, что на первом месте «полная строгость изложения».  

Авторы учебника [3] в своем предисловии, в частности, пишут: «Авторы стремились избежать чрезмерной детализации, но не в ущерб логической строгости». В предисловии к учебнику [4] мы встречаемся со следующей позицией: «… мы совершенно отказались от понятия предела переменной величины…Это позволяет сделать изложение логически более прозрачным».

Однако, по нашему мнению, именно с логической прозрачностью и стройностью в учебниках математического анализа докомпьютерной эры далеко не все в порядке. В самом деле, в некоторых из них вещественные числа – один из основных и важнейших объектов математического анализа – вводятся по Дедекинду с помощью понятия «сечения» во множестве рациональных чисел. Но в главах, следующих за вещественными числами объект «сечение» ни разу не упоминается. Как правило, всюду в дальнейшем вместо термина число как аргумента функции начинает употребляться термин «точка»: «рассмотрим значение функции  в точке 0.1».

Сечения были нужны только для того, чтобы, доказать существование предела монотонно возрастающей последовательности или обосновать какое-либо эквивалентное ему утверждение. Именно на этих утверждениях строится в дальнейшем все здание анализа и, в частности, исследуются свойства непрерывных функций.

Аналогично обстоит дело и при двух других способах введения вещественных чисел: по Вейерштрассу с помощью формальных бесконечных десятичных дробей или по Кантору с помощью фундаментальных последовательностей Коши рациональных чисел. Везде непрерывность функций определяется с помощью пределов. При этом не используется логически предшествующее понятие непрерывности вещественной числовой оси.

Помимо увлечения логической строгостью существующие учебники математического анализа можно упрекнуть в отсутствии мотивировок вводимых математических терминов, хотя любое определение без предварительного объяснения необходимости его введения понять толком невозможно. Например, почему функции, удовлетворяющие определению: «функция  называется непрерывной в точке , если по всякому  найдется такое , что неравенство  выполняется всякий раз, когда » - называются непрерывными? Можно ли без ущерба для понимания определения заменить слово «непрерывной» на слово «приятной», или «приятной во всех отношениях»?

Пренебрежение мотивировками или изложением наводящих соображений имеет в математике давние исторические корни. Еще Декарт утверждал:

·   «Не следует экспериментально проверять исходные положения наших теорий: это просто произвольные аксиомы и их отношение к реальности отношения к науке не имеет.

·   Столь же бессмысленно сравнивать с реальностью и окончательные выводы: вряд ли они согласуются с ней лучше исходных аксиом.

·   Что действительно важно – это по строгим правилам логики преобразовывать аксиомы в конечные результаты, избегая всякого участия воображения. Чтобы сделать геометрию наукой, нужно изгнать из нее чертежи – это следы экспериментов, с одной стороны, и пища для воображения – с другой».

(Цитируется по [5], с. 249).

Возвращаясь к приведенному выше определению непрерывной функции, отметим, что смысл термина непрерывная функция представляется авторам учебников настолько интуитивно ясным, что не стоит тратить время на его разъяснение. Оно связывается, по-видимому, с наглядным образом графика непрерывной функции как сплошной линии без разрывов. По этому поводу полезно заметить, что выше определялось понятие непрерывности в точке, а не на отрезке или интервале. Поэтому образ линии без разрывов неадекватен. В самом деле, легко привести примеры функций, непрерывных только в одной точке и имеющих разрывы во всех остальных точках своей области определения. Например, функция , где – функция Дирихле, равная +1 для иррациональных  и равная -1 для иррациональных , непрерывна только в точке . Во всех остальных точках вещественной числовой оси она имеет разрывы второго рода, т.е. не имеет пределов ни слева, ни справа.  

График функции  можно изобразить в виде биссектрис первого и третьего и второго и четвертого квадрантов, т.е. он состоит из двух сплошных линий. Это показывает всю неуместность апелляции к наглядным геометрическим образам для объяснения смысла непрерывности функции в отдельной точке.

2. Графики непрерывных функций с системой «Математика»

В учебниках докомпьютерной эры не наблюдается логическая стройность и при освещении темы Графики непрерывных функций. В самом деле, с одной стороны дается следующее определение графика функции: «графиком функции  называется множество всех упорядоченных пар ». Т.е. график – это множество, которое естественным образом отождествляется с множеством точек вещественной координатной плоскости. Отсюда естественно напрашивается вывод: график функции нужно рисовать, отмечая точки на бумаге, т.е. отрывая всякий раз после нанесения очередной точки карандаш от плоскости листа.

Между тем, график молчаливо отождествляется с некоторой линией на плоскости, которая рисуется, не отрывая карандаш от бумаги. В то же время, определение линии (кривой) в математическом анализе использует, в конечном счете, понятие графика функции. Но если график отождествлять с линией, а график непрерывной функции отождествлять с линией непрерывной, то непонятно, зачем профессора математики тратят время на доказательство следующего очевидного утверждения.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует, по крайней мере, одна точка на отрезке, в которой функция принимает нулевое значение, т.е. пересекает ось абсцисс.

В самом деле, как линия, которую можно начертить на плоскости, не отрывая карандаш от бумаги, может не пересечь ось абсцисс, переходя от верхней полуплоскости к нижней или наоборот от нижней к верхней?

Лучший способ избавиться от этого недоумения: изучать тему графики функций с помощью системы «Математика». Во всех компьютерных алгебрах имеются средства для визуализации дискретных данных. В «Математике» - это команда ListPlot[data], где data конечное множество упорядоченных пар вида {a,b}. Результатом выполнения команды является множество точек на координатной плоскости. Если , то data состоит из множества точек (не всех) графика функции .

Рассмотрим пример построения графика. Пусть . Реализуем следующий способ построения некоторого конечного множества точек графика этой тригонометрической функции. Будем строить точки графика с помощью тригонометрических тождеств. Во-первых, это формулы половинного угла:

 ,                           (1)

Во-вторых, формулы для синуса и косинуса суммы двух углов:

       (2)

Построим поточечный график функции с шагом π/96.

Сделаем важное замечание. Система «Математика» может вычислять значения тригонометрических функций в любой точке с любой наперед заданной точностью и прекрасно рисует график синуса. Поэтому, чтобы подчеркнуть, что наши вычисления будут совершенно независимы от сведений о тригонометрических функциях, которые заложены в систему «Математика», мы вместо функций с названиями  и будем создавать свои функции, которые обозначим через и .

Первый шаг: введем формулы (1) в компьютер в синтаксисе «Математики» и учтем, что из геометрии нам известны значения функции синус и косинус для угла :

; ;

             (3)

После того, как эти формулы вычислены, т.е. соответствующие определения занесены в вычислительную машину «Математики», можно будет вычислять функции синус и косинус для любых углов вида  В частности, при  получается искомый угол . Механизм вычисления: так называемое рекурсивное программирование. Например, для вычисления  вычислительная машина «Математики» в соответствии с занесенными в нее определениями (3) обратится к углу , и будет вычислен с результатом .

Аналогично будет найдено абсолютно точное выражение через радикалы для  . Мы не приводим его ввиду громоздкости. Впрочем, нам будет достаточно его приближенное значение 0.0327191 и приближенное значение для равное 0.999465.

Теперь вводим в компьютер формулы (2) для и полученные приближенные значения , .

             

Эти определения позволяют рекурсивно вычислять значения наших функций в точках, отстоящих от точки на расстояниях кратных . Например,.

Теперь мы можем нарисовать точки графика функции на отрезке . Для этого вычисляем множество из 192 пар точек графика, т.е. чисел вида :

       

С помощью команды ListPlot рисуем эти точки на плоскости (Рис. 1).  

Рис.1. График функции Mysin[x] с шагом π/96.

 

На представленном рисунке ясно виден поточечный характер графика. Кроме того, видно, что часть точек графика, перекрываясь, сливаются в сплошную линию, каковой воспринимается график любой функции при традиционном его вычерчивании с помощью карандаша и бумаги.

Если уменьшить шаг графика, т.е. перейти к шагу или еще меньшему, то все дискретные точки графика сольются в одну сплошную линию – встречающийся повсюду в математической и учебной литературе график функции .

3. Исследование непрерывности функций с помощью системы «Математика»

Выше мы приводили определение непрерывной в фиксированной точке функции «на языке », или определение по Коши. Другое часто используемое определение – определение на языке последовательностей, или определение по Гейне: «функция  непрерывна в точке , если для любой последовательности,  сходящейся к , последовательность значений функции сходится к». Кроме того, с помощью понятий левого и правого пределов функции в точке проводится классификация точек разрыва.

Если пользоваться определением непрерывности по Гейне, то с помощью «Математики» можно придать исследованию непрерывности функции в точке геометрическую наглядность. Для этого мы, как и в предыдущем разделе, будем изучать поведение дискретных точек графика функции.

Заметим, что определение Гейне означает, что в случае непрерывности множество точек графика функции сходится к точке  графика. Обратно, из сходимости всех таких последовательностей к точке  следует непрерывность функции в точке.

Рассмотрим в качестве примера функцию . Данной формулой функция не определена в точке , т.е. имеет в этой точке разрыв. Задача: каков характер этого разрыва, т.е. является ли он устранимым, первого или второго рода.

Для того, чтобы составить первое впечатление о поведении функции в точке x = 0, рассмотрим последовательность с элементами . Вычислим множество

     

содержащее сорок пять элементов, и воспользуемся командой ListPlot, чтобы представить его в виде точек на плоскости (Рис.2).

Рис2. Множество точек графика для последовательности /n

Изучая этот рисунок, можно сделать предположение, что последовательность точек графика сходится как слева, так и справа к точке . Еще большую убедительность этот вывод приобретет, если сделать мультфильм, кадры которого - рисунки аналогичные выполненному, но количество точек на которых увеличивается на единицу от кадра к кадру. Тогда стремление точек графика к точке будет более убедительным.

На Рис.2 точки графика, сгущаясь, не доходят до предельной точки. Можно поступить следующим образом: либо увеличить число элементов последовательности, либо при одном и том же числе элементов выбрать последовательность, быстрее сходящуюся к точке 0. Скажем, можно взять последовательность , тогда точки графика сомкнутся около предела .

В заключение этого раздела подчеркнем, что наглядное исследование поведения точек графика лишь позволяет высказать гипотезу о существовании у рассматриваемой функции в точке 0 устранимого разрыва, но не доказывает этот факт. После того, как высказана гипотеза, ее следует доказать (или опровергнуть) стандартными математическими методами. В данном случае – вычислить предел

4. Непрерывность с Вебматематикой

Преподавание математических дисциплин с помощью «Математики» при всех своих неоспоримых преимуществах имеет существенный недостаток, препятствующий, наряду с высоко стоимостью этого программного продукта, ее широкому использованию в высшей школе РФ. Преподавателю и студентам необходимо, хотя бы поверхностно, знать систему команд и синтаксис вводимых математических выражений. Это недостаток устраняется, если вместо «Математики» использовать систему удаленных расчетов через Интернет, называемую Вебматематикой.

ВебМатематика является веб-интерфейсом для интегрированной системы символьных, графических и численных расчетов «Математика». При обучении математическим дисциплинам с помощью ВебМатематики используются электронные учебные пособия, снабженные программами проведения символьных, графических или численных расчетов.

Система ВебМатематика является прикладной программой для Ява-сервера, позволяющая проводить символьные, графические и численные расчеты по Интернету на основе специально написанных научных и учебных интерактивных электронных документов, размещенных на сервере. Для проведения расчетов пользователю достаточно иметь только стандартный веббраузер.

ВебМатематика создает на сервере и отправляет пользователю по его запросу специальные веб-страницы, которые содержат HTML-формы с полями ввода пользовательской информации. После ввода информации и нажатия пользователем кнопки «Вычислить» страница поступает обратно на сервер, команды выполняются, а результаты вычислений вклеиваются в новую страницу, отправляемую пользователю.

Следует отметить, что с помощью ВебМатематики нельзя получить непосредственный доступ к вычислительной машине Математики. Можно выполнять только те команды, которые содержатся в теле HTML-форм и данные для которых пользователь впечатывает в поля ввода этих форм. Таким образом, на каждой  вебстранице  пользователю фактически доступен лишь относительно небольшой набор команд. Это существенно ограничивает гибкость использования Математики и требует создания новой методики преподавания. Технология как совокупность приемов и методов создания интерактивных электронных учебных пособий для ВебМатематики изложена в [6].  

Опишем вкратце, как происходит обучение разделу Непрерывность функций с помощью Вебматематики. Интерактивное электронное учебное пособие «Непрерывность и точки разрыва функций» наряду с учебными пособиями по другим разделам Математического анализа и Линейной алгебры размещено на сайте http://wm.iedu.ru, созданном в МИЭМ НИУ ВШЭ. Титульная страница пособия приведена на Рис.3.

Из рисунка следует, что пособие наряду с теоретической частью содержит раздел Решение задач. В последнем два подраздела: Задачи и Образец выполнения работы. В образце все расчеты выполняются с помощью HTML-формы График функции (Рис.4).

В поля ввода этой формы заранее введены данные задачи-образца, а именно, формула, определяющая исследуемую функция, формула для элементов последовательности и число элементов последовательности. Пользователь сначала выполняет вычисления задачи-образца, а затем, уяснив метод решения задач подобного рода, вводит путем редактирования данные решаемой им задачи и выполняет вычисления.

 

Рис.3. Титульная станица пособия «Непрерывность и точки разрыва функций»

Рис.4. HTML-форма «График функции»

5. Заключение

Нами описана методика применения компьютерных алгебр в образовательных целях для преподавания дисциплины Математический анализ. На примере систем Математика и Вебматематика продемонстрировано, что их применение позволяет существенно повысить как логическую стройность, так доступность такой фундаментальной темы анализа как непрерывность. 

Опыт on-line обучения студентов МИЭМ НИУ ВШЭ специальности 230100 «Информатика и вычислительная техника»  показывает, что у студентов не возникает решительно никаких затруднений с интерактивными электронными учебниками.

ЛИТЕРАТУРА

1.       Е.М. Воробьев. Система символьных, графических и численных расчетов Математика. М.: Диалог-МИФИ, 2005. – 365 с.

2.       В.А. Зорич. Математический анализ. Часть I. 4-е изд. М.: МЦНМО, 2002. -554 с.

3.       А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. М.: Физико-математическая литература, 2001. - 671 с.

4.       В.В. Немыцкий, М.И. Слудская, А.Н. Черкасов. Курс математического анализа. т.1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. – 459 с.

5.       В.И. Арнольд. Математическая дуэль вокруг Бурбаки// Вестник РАН. -  2002. Т. 72. - С.245-250.

6.       Е.М. Воробьев, В.А. Никишкин. Методика разработки интерактивных учебных пособий по математическим дисциплинам для системы Вебматематика // Открытое образование. – 2010. -  №3. - С. 23-31.