Информационные технологии математического моделирования в экономических вузах

Трофимец Елена Николаевна

доцент, к.п.н., доцент кафедры высшей математики,

Ярославский государственный технический университет,

150023, г. Ярославль, Московский проспект, 88.

Телефон кафедры высшей математики: (4852) – 44 – 14 – 19.

zemifort@inbox.ru

 

Аннотация

Рассмотрены особенности передачи знаний с использованием технологии компьютерного моделирования. Обоснована возможность и целесообразность широкого использования табличного процессора MS Excel в качестве инструментальной программной среды моделирования в образовательном процессе студентов-экономистов.

Features of transfer of knowledge with use of technology of computer modelling are considered. Possibility and expediency of wide use of tabular processor MS Excel as the tool program environment of modelling in educational process of students-economists is proved.

Ключевые слова

математическая модель, компьютерное моделирование, информационные технологии, экономическое образование

mathematical model, computer modelling, information technologies, economic education

Введение

Дидактическая эффективность ряда учебных дисциплин математического цикла (в частности, таких дисциплин, как «Высшая математика», «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Эконометрика») может быть повышена путем внедрения в образовательный процесс инновационных методов обучения, отличных от традиционных форм обучения, которые, в основном, направлены на механическое запоминание информации. Традиционные формы обучения должны дополняться новыми инновационными технологиями, разработанными в соответствии с интерактивными формами обучения, что позволит повысить качественный уровень подготовки студентов, поддерживая и направляя их интеллектуальный потенциал. Одной из таких технологий является технология компьютерного моделирования, которая позволяет органично синтезировать знания по экономике, математике, информационным технологиям и обладает значительным дидактическим потенциалом в формировании информационно-аналитической компетентности студентов-экономистов.

Компьютерное моделирование в образовательном процессе

студентов-экономистов

Вопросы использования математических методов и моделей в процессе подготовки и принятия экономических решений привлекают постоянное внимание как ученых, так и специалистов-практиков. Можно констатировать, что в настоящее время математическое моделирование занимает одно из ключевых мест среди методов исследования экономических систем и процессов.

Модель должна адекватно отражать основные, главные черты исследовательской деятельности экономиста и должна быть описана математически; кроме того, необходимо учесть роль каждого определяющего структуру элемента, его функции и характеристики. Исходя из системного подхода, при исследовании наглядного моделирования в обучении следует выявить структуру этого процесса, так как именно она и должна  быть формализована  при построении модели познавательной деятельности студентов-экономистов [1].

Широкое распространение математического моделирования в экономике в значительной степени обусловлено развитием информационных инструментальных сред, которые позволяют переводить экономико-математические модели из классической символьной формы представления в компьютерную и тем самым предоставляют пользователю доступные и эффективные средства всестороннего анализа моделей, что для практической деятельности играет решающую роль. Современные информационные технологии – мощный инструмент прогресса во всех сферах общественной жизни, поэтому в настоящее время к традиционным стратегическим материальным и энергетическим ресурсам общества прибавляется его информационный ресурс. В силу этого прогрессивное развитие общества связывают с его информатизацией и переходом на стадию постиндустриального (открытого информационного) общества.

В свою очередь, современные потребности экономической науки и практики послужили основными предпосылками для широкого распространения технологий компьютерного моделирования в образовательном процессе специалистов финансово-экономического профиля, о чем свидетельствуют  многочисленные публикации как в специализированных журналах, посвященных информатизации образования («Информатика и образование», «Компьютерные учебные программы и инновации», «Образовательные технологии и общество» и др.), так и в изданиях различных научных и образовательных учреждений. Анализируя данные публикации, можно отметить, что использование компьютерного моделирования в образовательном процессе имеет два основных аспекта:  первый аспект – компьютерное моделирование рассматривается как средство передачи обучаемым артикулируемой части знаний, второй аспект – компьютерное моделирование рассматривается как средство передачи обучаемым неартикулируемой части знаний [2].

Артикулируемая часть знаний относительно легко поддается структурированию и может быть передана обучаемому с помощью порций информации (текстовой, графической, видео и т.д.). Программно-методические средства, применяемые для поддержки процесса освоения артикулируемой части знаний, получили название декларативных. К ним относятся: автоматизированные учебники; автоматизированные системы информационного обеспечения лекционных занятий; автоматизированные учебные курсы; автоматизированные системы контроля усвоения знаний и другие программно-методические средства,  позволяющие хранить, передавать и проверять правильность усвоения обучаемым информации учебного характера. Компьютерные модели, встроенные в программно-методические средства декларативного типа, играют, как правило, поясняющую роль и позволяют обучаемым  нагляднее представить суть изучаемого объекта (явления).

Неартикулируемая часть знаний представляет собой компонент знания, основанный на опыте и интуиции. Эта часть знаний охватывает умения, навыки, интуитивные образы и другие формы человеческого опыта, которые не могут быть переданы обучающемуся непосредственно, а "добываются" им в ходе самостоятельной познавательной деятельности при решении практических задач. Программно-методические средства, применяемые для поддержки процесса освоения неартикулируемой части знаний, получили название процедурных. Программно-методические средства процедурного типа не содержат овеществленные знания в виде информации, они строятся на основе моделей, которые позволяют обучаемому в ходе детерминированного или свободного учебного исследования получать знания о свойствах изучаемых объектов или процессов. К процедурным программно-методическим средствам относятся: автоматизированные практикумы; автоматизированные лабораторные работы; прикладные программы, позволяющие конструировать модели; автоматизированные тренажеры и другие программно-методические средства,  позволяющие обучаемому "добывать" знания в исследуемой предметной области.

Необходимо отметить, что классификация учебных программно-методических средств на декларативные и процедурные не является строгой. В одном и том же программно-методическом средстве можно выделить и декларативную и процедурную составляющую, поэтому в этом случае следует говорить о доминировании одной составляющей над другой. Например, автоматизированный практикум, в котором явно преобладает процедурная составляющая, может быть снабжен инструкциями о последовательности действий при решении типовых задач. В этом случае обучаемый получает готовую информацию о процессе решения задачи и, соответственно, приобретает декларативные знания.

В информационно-аналитической подготовке специалистов финансово-экономического профиля наиболее эффективными, на наш взгляд, оказались программно-методические средства с доминирующей процедурной частью. Среди них можно выделить прикладные программы, в которых реализованы готовые модели и методы, используемые в профессиональной деятельности, а также прикладные программы, позволяющие конструировать модели и методы профессиональной деятельности (программы-конструкторы). К прикладным программам первого типа относятся такие программы, как STADIA, ТЭО-Инвест, Project Expert, Forecast Expert, Microsoft Project, и др., к прикладным программам второго типа – MS Excel, MathCad, MathLab, UniCalc, MVS, КОГНИТРОН и др.

При всей несомненной полезности прикладных программ первого типа их применение не всегда приводит к повышению качества собственно аналитической подготовки. Обучаемые не получают в полной мере представления о сути реализованных в программе методах, что проявляется в недоверии к получаемым результатам, а отсюда и в неуверенном использовании программы. Плохую услугу аналитической подготовке иногда оказывает и скрытность вычислительных процедур, выполняемых в программе. Многие расчеты, которые, на первый взгляд, кажутся рутинной работой, обладают большим обучающим эффектом, так как позволяют проследить и понять связь анализируемых показателей объекта (процесса) с варьируемыми переменными.

Таким образом, несмотря на высокий дидактический потенциал прикладных программ первого типа, во многих случаях он оказывается в полной мере не реализованным, так как требует предварительного осмысления используемых в прикладных программах экономико-математических методов и моделей на более "осязаемом" уровне. Такой уровень может быть достигнут при построении соответствующих компьютерных моделей в "прозрачной" среде, которую предоставляют программы-конструкторы.

Проводя сравнительный анализ программ-конструкторов, следует отметить, что такие программы, как MVS, КОГНИТРОН, Unicalc не получили широкого распространения в вузах финансово-экономического профиля, что объясняется, по всей видимости, сложностью их освоения без специальной математической подготовки и, как следствие, их недостаточной распространенностью в экономической сфере. Данное предположение подтверждается практикой использования данных программных продуктов в аналитических подразделениях, когда при построении моделей с использованием указанных программных сред экономистам-аналитикам нередко приходится обращаться за помощью к математикам. Также приходится констатировать, что и универсальные математические пакеты, такие как MathCad, MatLab, Mathematica и др., которые в технических вузах получили широкое распространение, в вузах финансово-экономического профиля пользуются значительно меньшей популярностью.

Принимая во внимание приведенные обстоятельства, в качестве универсальной моделирующей среды в информационно-аналитической подготовке специалистов финансово-экономического профиля предлагается использовать табличный процессор MS Excel. Выбор Еxcel в качестве инструмента программной реализации экономико-математических моделей обусловлен рядом обстоятельств. Во-первых, данный программный продукт достаточно глубоко изучается во всех вузах финансово-экономического профиля; во-вторых, он установлен во всех организациях; в-третьих, MS Excel имеет специальные программные надстройки и развитую библиотеку аналитико-расчетных функций, которые могут использоваться для решения широкого класса задач экономического анализа; в-четвертых, MS Excel обладает открытой архитектурой и при необходимости его функциональные возможности могут быть значительно расширены за счет разработки пользовательских функций и программных надстроек; в-пятых, MS Excel интегрируется с большим числом программных продуктов, что позволяет его рассматривать как связывающее звено при разработке учебных фрагментов распределенной системы поддержки принятия экономических решений.

Практика использования табличного процессора MS Excel в качестве среды моделирования экономических систем и процессов на инженерно-экономическом факультете Ярославского государственного технического университета подтвердила его высокий дидактический потенциал. Кроме того, в процессе обучения на основе компьютерного моделирования следует ожидать и активизации психологических механизмов усвоения знаний обучаемыми [2,3].

Модель анализа чувствительности критерия эффективности

инвестиционных проектов

Для демонстрации моделирования экономических систем и процессов при помощи табличного процессора MS Excel рассмотрим задачу анализа чувствительности критерия NPV к изменению стохастических параметров инвестиционного проекта [4].

Постановка задачи 

Фирма рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии по производству продукции "А". Стоимость линии вместе с доставкой, установкой и вводом в эксплуатацию составляет 100000 у.е., срок эксплуатации – 4 года;  износ линии рассчитывается по методу линейной (равномерной) амортизации; ликвидационная стоимость линии будет достаточна для покрытия расходов, связанных с её демонтажем. Планируемый выпуск продукции – 10000 шт. в год, ожидаемая цена единицы продукции – 25 у. е., переменные издержки на единицу продукции – 12 у. е., постоянные издержки – 70000 у. е. в год. Проект рассчитан на 4 года. Налог на прибыль равен 25%, норма дисконтирования денежных потоков проекта – 15%. Стохастическими параметрами проекта являются: объем выпуска, цена за штуку, переменные издержки на единицу продукции и постоянные издержки.

Проведите анализ чувствительности критерия NPV к изменению стохастических параметров проекта, приняв диапазон их изменения от -50% до +50% относительно ожидаемых значений. Шаг изменения – 10%. Рассчитайте значения коэффициентов эластичности, на основании полученных результатов сформулируйте выводы.

 

Таблица 1

 

Детерминированные параметры

Стохастические параметры

Название

параметра

Значение

Название

параметра

Вероятное

значение

Амортизационные

отчисления  A, у.е.

25000,00

Объем выпуска Q , шт.

10000

Налог на прибыль Т, %

25%

Цена за штуку P , у.е.

25,00

Норма дисконта r, %

15%

Переменные издержки

на единицу продукции

VC1 , у.е.

12,00

Срок проекта n, лет

4

Начальные

инвестиции I0 , у.е.

100000,00

Постоянные

издержки FC ,у.е.

70000,00

 

Метод анализа чувствительности состоит в  численном измерении влияния  исходных параметров проекта на его эффективность (как правило, на показатель чистой современной стоимости NPV – net present value). Другими словами, этот метод позволяет ответить на вопрос: как изменится критерий эффективности проекта, если изменится на определенную величину какой-либо из параметров проекта? Отсюда его второе название – анализ «что будет, если» («what if» analysis).

Риск рассматривается как степень чувствительности чистого дисконтированного дохода к изменению условий функционирования (изменению налоговых платежей, ценовым изменениям, изменениям средних переменных издержек и т. п.), т. е. чем сильнее реагируют показатель экономической эффективности проекта на изменения входных величин, тем сильнее проект подвержен соответствующему риску.

Типовая процедура анализа чувствительности предполагает изменение одного исходного параметра, в то время как значения остальных считаются постоянными величинами. Как правило, проведение подобного анализа предполагает выполнение следующих этапов:

1. В виде математического уравнения задается взаимосвязь между исходными параметрами проекта и его критерием эффективности.

2. Определяются наиболее вероятные значения для исходных параметров проекта и возможные диапазоны их изменений.

3. Путем изменения значений исходных параметров проекта исследуется их влияние на критерий эффективности.

 

Базовая формула для расчета показателя NPV имеет следующий вид:

 

NPV = PVI0 ,                                                                                       (1)

 

где PV – современная стоимость денежного потока;

      I0 – сумма инвестиций.

 

Величина I0, как правило, известна с достаточно высокой степенью достоверности, величина  PV  определяется по формуле (2):

 

,                   (2)

 

где  r – норма дисконта;

       n – число периодов реализации проекта;

      CFt ­– чистый поток платежей в период времени t.

 

Для определения нормы дисконта мы исходили из выражения:

 

r = r1 + r2,                                                                                                (3)

 

где r1 – ставка по долгосрочным депозитам высоконадёжных банков;

      r2 – премия за риск;

 

Для нахождения величины CFt введем следующие обозначения для исходных параметров проекта:

· Q – объем выпуска, шт.;

· P – цена за штуку;

· FC – постоянные издержки;

· VC1 ­­– переменные издержки на единицу продукции;

· A – амортизационные отчисления;

· T – налог на прибыль, %;

 

Очевидно, что общая выручка от реализации проекта составит:

 

TR = Q ´ P,                                                                                             (4)

 

а общие издержки:

 

TC = FC + VC = FC + VC1 ´ Q.                                                           (5)

 

Тогда прибыль проекта до уплаты налога составит:

 

Pr1 = TRTC.                                                                                       (6)

 

Налог взимается с разности между прибылью и амортизационными отчисления, поэтому налогооблагаемая прибыль составит:

 

Pr2 = Pr1 – A,                                                                                        (7)

 

а сумма налога на прибыль:

 

S = Pr2 ´ T.                                                                                             (8)

 

Тогда чистый поток платежей будет представлять собой денежный поток от операционной деятельности и рассчитываться по формуле:

 

CFt = TRTC S = Pr1 – S.                                                               (9)

 

Подставляя в формулу (9) выражения (4)-(6) и осуществляя математические преобразования, получаем результирующую формулу для денежного потока:

 

.                   (10)

 

Подставляя выражение (10) в формулу (2), получаем итоговую формулу (11):

 

.           (11)

 

Формула (11) является математической моделью исследуемой экономической системы, в роли которой выступает инвестиционный проект.

Вторым этапом моделирования является разделение параметров проекта на детерминированные и стохастические (таблица 1).  Принимая во внимание экономическую суть параметров и степень присутствия в них случайной составляющей, к группе детерминированных параметров были отнесены:

· I0 – сумма инвестиций.

· r – норма дисконта;

· n – число периодов реализации проекта;

· A – амортизационные отчисления;

к группе стохастических параметров были отнесены:

· Q – объем выпуска, шт.;

· P – цена за штуку;

· FC – постоянные издержки;

· VC1 ­­– переменные издержки на единицу продукции.

В качестве показателя чувствительности, предлагается использовать коэффициент эластичности, показывающий на сколько процентов в среднем изменится значение критерия эффективности при изменении соответствующего исходного параметра проекта на 1%. Коэффициент эластичности может быть рассчитан по формуле (12):

 

,                                                                                  (12)

 

где  – среднее значение соответствующего стохастического параметра проекта;

      – среднее значение критерия NPV;

      a – коэффициент в уравнении парной линейной регрессии NPV = aX + b.

 

Согласно типовой методике проведения анализа на чувствительность исходные параметры проекта на первом этапе считаются одинаковыми для всех периодов, поэтому генерируемый проектом поток платежей представляет собой аннуитет, т. е. CF1 = CF2 = … CFn. Данное обстоятельство позволяет использовать для расчета критерия NPV не только функцию ЧПС, но и функцию ПС.

Анализ чувствительности критерия NPV к изменению стохастических параметров проекта удобно проводить в MS Excel с использованием инструмента Таблица подстановки (рис. 1).

 

Рис. 1. Диалоговое окно «Таблица подстановки»

При работе с данным инструментом должны быть соблюдены следующие технологические особенности:

· варьируемые значения параметров должны быть расположены либо в отдельном столбце, либо в отдельной строке (в рассматриваемом примере варьируемые значения расположены в отдельном столбце, поэтому дальнейшее изложение материала будет касаться только этой ситуации);

· формула должна быть введена в ячейку, расположенную на одну строку выше и на одну ячейку правее первого варьируемого значения;

· перед использованием инструмента Таблица подстановки необходимо выделить прямоугольный диапазон ячеек, содержащий варьируемые значения и формулу;

· после выделения диапазона необходимо в меню Данные выбрать команду Таблица подстановки и в поле Подставлять значения по строкам ввести ссылку на ячейку, где задано ожидаемое значение параметра (в рассматриваемой задаче это таблица «Исходные параметры проекта»);

· рассчитанные значения критерия будут возвращены в диапазоне, расположенном под формулой.

Таблица подстановки позволяет проанализировать, как будет изменяться значение критерия NPV при изменении значений выбранного стохастического параметра (рис. 2).

Рис. 2. Таблица подстановки

Чтобы оценить, в какой степени каждый из параметров оказывает влияние на критерий NPV следует рассчитать коэффициент эластичности (показатель чувствительности) по формуле (12).

Для расчета  и  воспользуемся функцией СРЗНАЧ из категории статистических функций.

Для расчета коэффициента a можно воспользоваться или Мастером диаграмм, или функцией ЛИНЕЙН из категории статистических функций.

В рассматриваемой задаче для расчета коэффициента a целесообразнее воспользоваться функцией ЛИНЕЙН. Значения аргументов в данной функции:

· изв_знач_y – диапазон ячеек с рассчитанными значениями NPV;

· изв_знач_x – диапазон ячеек с варьируемыми значениями параметров;

· константа = 1 –  уравнение регрессии будет  иметь вид y = ax + b (если константа = 0  уравнение регрессии будет  меть вид y = ax, что для рассматриваемой задачи неприемлемо, т. к. при x = 0 ® y = 0);

· стат = 0 – будет рассчитываться только значение коэффициента a (если стат = 1 будет рассчитываться дополнительная регрессионная статистика, что в рассматриваемой задаче, вообщем-то, не нужно).

Рассчитанные в таблице подстановки коэффициенты эластичности занесем в таблицу результатов (рис. 3). Анализ коэффициентов эластичности позволяет сделать вывод, что критерий NPV очень сильно чувствителен к изменению цены продукции: при увеличении (уменьшении) цены продукции на 1% значение NPV увеличится (уменьшится) в среднем на 18%. Высокая чувствительность наблюдается также по отношению к объему выпуска и переменным издержкам, хотя она и значительно меньше по сравнению с чувствительностью к цене. По отношению к постоянным издержкам чувствительность критерий NPV средняя.

 

Рис. 3. Таблица результатов

Знак "-" при коэффициенте эластичности говорит об обратном изменении NPV при изменении параметра: например, при  увеличении (уменьшении) постоянных издержек на 1% значение NPV уменьшится (увеличится) в среднем на 3%.

Высокое значение коэффициента эластичности говорит о том, что параметр следует подвергнуть дальнейшему исследованию на рискованность (произвести оценку риска по годам)  внимательно наблюдать за ним в ходе реализации проекта.

Анализ и оценка разработки

Завершая рассмотрение метода анализа чувствительности, отметим, что он является хорошей иллюстрацией влияния отдельных исходных параметров на результат и показывает направление дальнейшего исследования. Вместе с тем данный метод обладает и рядом недостатков, наиболее существенными из которых являются:

· предполагает изменение одного исходного параметра, в то время как остальные считаются постоянными величинами. Однако на практике между параметрами существуют взаимосвязи, и изменение одного из параметров часто автоматически приводит к изменению остальных;

· не позволяет получить вероятностные оценки возможных отклонений анализируемых критериев.

Первый недостаток может быть преодолен путем построения уравнений взаимосвязей параметров или, если первое не возможно, путем одновременного изменения нескольких исходных параметров. Инструмент MS Excel Таблица подстановки позволяет проводить анализ чувствительности при одновременном изменении двух исходных параметров.

Второго недостатка лишены методы анализа рисков инвестиционных проектов, базирующиеся не только на концепции временной стоимости денег, но и на вероятностных подходах. Одним из мощнейших методов исследования экономических систем под воздействием случайных факторов является метод имитационного статистического моделирования, получивший также название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Заключение

Широкое использование в образовательном процессе студентов-экономистов технологии компьютерного моделирования показало, что данная технология позволяет формировать у обучаемых такие способности (характеристики мышления), как: анализировать, систематизировать, обобщать изученное и делать выводы, самостоятельно мыслить и другие. Таким образом, условия обучения, создаваемые компьютерными моделирующими средами, не только поддерживают процесс освоения неартикулируемой части знаний, но и способствуют развитию у обучаемых как системного, так и творческого мышления.

Литература

1. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие /  Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с.

2. Боно Де Э. Латеральное мышление. – СПб: Питер Паблишинг, 1997. – 320 с.

3. Кужель С.С., Кужель О.С. Информационные технологии – средство развития системного творческого мышления [Электр. ресурс] // Образовательные технологии и общество. – 2002. – № 1. – С. 264-275

4. Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я., Оленикова Ю.К. Математические модели экономических систем: Учеб. пособие. – Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. – 171 с.